8179. Все попарные расстояния между четырьмя точками в пространстве равны 1. Найдите расстояние от одной из этих точек до плоскости, определяемой тремя другими.
Ответ. \sqrt{\frac{2}{3}}
.
Решение. Пусть A
, B
, C
и D
— точки, попарные расстояния между которыми равны 1. Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD
с вершиной D
. Её основание — равносторонний треугольник ABC
. Боковые рёбра DA
, DB
и DC
этой пирамиды равны между собой, поэтому её высота DO
проходит через центр O
окружности описанной около основания ABC
, т. е. через центр равностороннего треугольника ABC
со стороной 1.
Пусть M
— середина стороны BC
. Тогда
AM=AB\sin\angle ABM=AB\sin60^{\circ}=1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2},
AO=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Поскольку DO
— высота пирамиды, расстояние от точки D
до плоскости ABC
равно длине отрезка DO
. Из прямоугольного треугольника AOD
находим, что
DO=\sqrt{AD^{2}-AO^{2}}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.
Ясно, что остальные искомые расстояния также равны \sqrt{\frac{2}{3}}
.