8199. Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найдите площадь ортогональной проекции треугольника на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный наименьшему углу этого треугольника.
Ответ. \frac{30\sqrt{6}}{7}
.
Решение. Пусть S
— площадь данного треугольника, S_{1}
— площадь ортогональной проекции этого треугольника на некоторую плоскость. В треугольнике наименьший угол (обозначим его \alpha
) лежит против наименьшей стороны. По теореме косинусов
\cos\alpha=\frac{36+49-25}{2\cdot6\cdot7}=\frac{60}{84}=\frac{5}{7}.
Тогда
\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{25}{49}}=\frac{2\sqrt{6}}{7},
S=\frac{1}{2}\cdot6\cdot7\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot6\cdot7\cdot\frac{2\sqrt{6}}{7}=6\sqrt{6}.
Следовательно,
S_{1}=S\cos\alpha=6\sqrt{6}\cdot\frac{5}{7}=\frac{30\sqrt{6}}{7}.