8209. Все плоские углы при вершине D
пирамиды ABCD
равны 90^{\circ}
, DA=1
, DB=DC=\sqrt{2}
. Найдите двугранные углы этой пирамиды.
Ответ. 90^{\circ}
; 90^{\circ}
; 90^{\circ}
; 45^{\circ}
; 60^{\circ}
; 60^{\circ}
.
Решение. Так как AD\perp DB
и CD\perp BD
, то ADC
— линейный угол двугранного угла при ребре BD
данной пирамиды ABCD
. По условию задачи \angle ADC=90^{\circ}
. Следовательно, двугранный угол пирамиды при ребре BD
равен 90^{\circ}
. Аналогично, двугранные углы при рёбрах CD
и AD
также равны 90^{\circ}
.
Прямая AD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым CD
и BD
плоскости BCD
. Поэтому AD
— перпендикуляр к этой плоскости. Пусть AM
— высота треугольника ABC
. Так как DM
— ортогональная проекция наклонной AM
на плоскость BCD
, то по теореме о трёх перпендикулярах DM\perp BC
. Поэтому DM
— высота прямоугольного треугольника BCD
, а AMD
— линейный угол двугранного при ребре BC
. Далее находим:
DM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot2=1,~\tg\angle AMD=\frac{AD}{DM}=1,~\angle AMD=45^{\circ}.
Таким образом, двугранный угол пирамиды при ребре BC
равен 45^{\circ}
. С помощью аналогичных рассуждений находим, что двугранные углы при рёбрах AC
и AB
равны по 60^{\circ}
.
