8249. В треугольной пирамиде ABCD
суммы трёх плоских углов при каждой из вершин B
и C
равны 180^{\circ}
. Найдите радиус сферы, описанной около тетраэдра, если AD=BC=6
и расстояние между прямыми AD
и BC
равно 8.
Ответ. 5.
Указание. Сделав развёртку тетраэдра, докажите, что его грани — равные треугольники. Далее см. задачу 2767.
Решение. Рассмотрим развёртку D_{1}AD_{2}BD_{3}C
тетраэдра ABCD
на плоскость треугольника ABC
, причём точки D_{1}
, D_{2}
и D_{3}
— вершины треугольников с основаниями AC
, AB
и BC
соответственно (рис. 2). Поскольку суммы трёх плоских углов при каждой из вершин B
и C
тетраэдра ABCD
равны 180^{\circ}
, точка C
лежит на отрезке D_{1}D_{3}
, а точка B
— на отрезке D_{2}D_{3}
, причём C
и D
— середины этих отрезков. Поэтому BC
— средняя линия треугольника D_{1}D_{2}D_{3}
. Значит, D_{1}D_{2}=2BC
, а так как AD=BC
, то AD_{1}=AD_{2}=BC
, поэтому AD_{1}+AD_{2}=D_{1}D_{2}
. Это означает, что точка A
лежит на отрезке D_{1}D_{2}
, причём A
— середина этого отрезка. Таким образом, AC
, AB
и BC
— средние линии треугольника D_{1}D_{2}D_{3}
. Следовательно,
BD=BD_{2}=AC,~CD=CD_{1}=AB,
т. е. противолежащие рёбра тетраэдра ABCD
попарно равны. Значит, все грани тетраэдра — равные треугольники (по трём сторонам) (рис. 3), т. е. тетраэдр равногранный.
Достроим его до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей. Тогда полученный параллелепипед прямоугольный (см. задачу 7267). Диагональ его грани равна 6, а ребро, перпендикулярное этой грани, равно отрезку, соединяющему середины AD
и BC
, т. е. 8. Значит, диагональ параллелепипеда равна 10.
Сфера, описанная около исходного тетраэдра, — это сфера описанная около полученного прямоугольного параллелепипеда. Её радиус равен половине диагонали параллелепипеда, т. е. 5.