8260. Сфера вписана в конус с углом \alpha
при вершине осевого сечения. В сферу вписан конус с тем же углом при вершине осевого сечения. Найдите \alpha
, если отношение объёмов первого и второго конусов равно V
. При каких V
задача имеет решение?
Ответ. \alpha=2\arcsin\frac{1\pm\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt[{3}]{{V}}}}}{2},~V\geqslant8.
Решение. Пусть высота A_{1}H_{1}
второго конуса лежит на высоте AH
первого, r
— радиус сферы, O
— её центр. Рассмотрим сечение конусов плоскостью, проходящей через прямую AH
. Получим равнобедренный треугольник ABC
, AB=AC
, \angle BAC=\alpha
, вписанную в него окружность радиуса r
с центром O
и равнобедренный треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
, вписанный в эту окружность, причём \angle B_{1}A_{1}C_{1}=\alpha
.
Из прямоугольного треугольника OHB
находим, что
BH=\frac{OH}{\tg\angle OBH}=\frac{r}{\tg\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)}=\frac{r}{\frac{1-\tg\frac{\alpha}{4}}{1+\tg\frac{\alpha}{4}}}=\frac{r\left(\cos\frac{\alpha}{4}+\sin\frac{\alpha}{4}\right)}{\cos\frac{\alpha}{4}-\sin\frac{\alpha}{4}}=
=\frac{r\left(\cos\frac{\alpha}{4}+\sin\frac{\alpha}{4}\right)\left(\cos\frac{\alpha}{4}-\sin\frac{\alpha}{4}\right)}{\left(\cos\frac{\alpha}{4}-\sin\frac{\alpha}{4}\right)^{2}}=\frac{r\cos\frac{\alpha}{2}}{1-\sin\frac{\alpha}{2}}.
По теореме синусов
B_{1}H_{1}=\frac{1}{2}B_{1}C_{1}=r\sin\angle B_{1}A_{1}C_{1}=r\sin\alpha=2r\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}.
Треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
подобны с коэффициентом
k=\frac{BH}{B_{1}H_{1}}=\frac{\frac{r\cos\frac{\alpha}{2}}{1-\sin\frac{\alpha}{2}}}{2r\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{2\sin\frac{\alpha}{2}\left(1-\sin\frac{\alpha}{2}\right)}.
Пусть V_{1}
и V_{2}
— объёмы первого и второго конусов. Конусы также подобны с коэффициентом k
, а так как отношение их объёмов равно кубу коэффициента подобия, то
\frac{1}{2\sin\frac{\alpha}{2}\left(1-\sin\frac{\alpha}{2}\right)}=\sqrt[{3}]{{V}},
или
2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2\sin\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{\sqrt[{3}]{{V}}}=0.
Отсюда находим, что
\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{1\pm\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt[{3}]{{V}}}}}{2},
причём V\geqslant8
, так как 1-\frac{2}{\sqrt[{3}]{{V}}}\geqslant0
.
При V\gt8
корни различны, оба положительны и меньше 1, так как по теореме Виета их сумма равна 1, а произведение равно \frac{1}{2\sqrt[{3}]{{V}}}\lt1
.
При V=8
корни совпадают. В этом случае \sin\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}
, значит, \alpha=60^{\circ}
, т. е. осевое сечение каждого конуса — равносторонний треугольник.