8287. Числа x
, y
и z
таковы, что x^{2}+3y^{2}+z^{2}=2
. Какое наибольшее значение может принимать выражение 2x+y-z
?
Ответ. \frac{4}{3}\sqrt{6}
.
Указание. Рассмотрите прямоугольную систему координат Oxyz
и векторы \overrightarrow{m}=\left(2;\frac{1}{\sqrt{3}};-1\right)
и \overrightarrow{n}=(x;y\sqrt{3};z)
.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz
и векторы \overrightarrow{m}=\left(2;\frac{1}{\sqrt{3}};-1\right)
и \overrightarrow{n}=(x;y\sqrt{3};z)
. Тогда
\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=2\cdot x+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot y\sqrt{3}-1\cdot z=2x+y-z.
С другой стороны, если угол между векторами \overrightarrow{m}
и \overrightarrow{n}
равен \varphi
, то
\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|\cos\varphi
(см. задачу 900). Следовательно,
2x+y-z=|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|\cos\varphi\leqslant|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|=
=\sqrt{4+\frac{1}{3}+1}\cdot\sqrt{x^{2}+3y^{2}+z^{2}}=\sqrt{\frac{16}{3}}\cdot\sqrt{2}=\frac{4}{3}\sqrt{6},
причём равенство достигается в случае, когда \cos\varphi=1
, т. е. когда вектор \overrightarrow{n}
сонаправлен с фиксированным вектором \overrightarrow{m}
. Тогда \varphi=0^{\circ}
.