8323. Основанием треугольной пирамиды SABC
является правильный треугольник ABC
со стороной 10. Боковое ребро SC
перпендикулярно плоскости основания и равно 24. Сфера, центр O
которой лежит в плоскости SBC
, касается рёбер SA
, AB
и AC
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Найдите AA_{1}
, расстояние от точки O
до ребра BC
и радиус сферы.
Ответ. \frac{15}{2}
, 5, \frac{5\sqrt{7}}{2}
.
Решение. Плоскость BSC
проходит через прямую SC
, перпендикулярную плоскости ABC
, значит, эти плоскости перпендикулярны (см. задачу 7710). Следовательно, перпендикуляр OE
, опущенный из точки O
плоскости BSC
на прямую BC
пересечения плоскостей, есть перпендикуляр к плоскости ABC
(см. задачу 7712). Тогда EB_{1}
— ортогональная проекция наклонной OB_{1}
к плоскости ABC
, а так как OB_{1}\perp AB
(как радиус, проведённый в точку касания сферы с прямой AB
), то по теореме о трёх перпендикулярах EB_{1}\perp AB
. Аналогично EC_{1}\perp AC
.
Поскольку OB_{1}=OC_{1}
(как радиусы сферы), прямоугольные треугольники OB_{1}E
и OC_{1}E
равны по гипотенузе и катету, значит, EB_{1}=EC_{1}
. Тогда прямоугольные треугольники BB_{1}E
и CC_{1}E
также равны по катету и противолежащему острому углу (\angle B_{1}BE=\angle C_{1}CE=60^{\circ}
), поэтому BE=CE=\frac{1}{2}BC=5
.
Пусть CH
— высота правильного треугольника ABC
. Тогда EB_{1}
средняя линия треугольника BCH
, значит,
BB_{1}=HB_{1}=\frac{1}{2}BH=\frac{1}{4}AB=\frac{5}{2},~AB_{1}=AB-BB_{1}=10-\frac{5}{2}=\frac{15}{2},
а так как AA_{1}
и AB_{1}
— отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки, то AA_{1}=AB_{1}=\frac{15}{2}
.
Пусть K
— проекция точки O
на ребро SC
. Обозначим OE=x
, OA_{1}=OB_{1}=OC_{1}=R
. Тогда
KC=OE=x,~SK=SC-KC=24-x,~OK=CE=5,~
SO^{2}=SK^{2}+OK^{2}=(24-x)^{2}+25,
Из прямоугольных треугольников BB_{1}E
и OB_{1}E
находим, что
B_{1}E=BB_{1}\sqrt{3}=\frac{5}{2}\cdot\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{2},~R^{2}=OB_{1}^{2}=B_{1}E^{2}+OE^{2}=\frac{75}{4}+x^{2},
а из прямоугольных треугольников ASC
и A_{1}SO
—
SA=\sqrt{AC^{2}+SC^{2}}=\sqrt{100+576}=\sqrt{169\cdot4}=26,
SO^{2}=SA_{1}^{2}+OA_{1}^{2}=(SA-AA_{1})^{2}+R^{2}=\left(26-\frac{15}{2}\right)^{2}+\frac{75}{4}+x^{2}=361+x^{2}.
Значит,
(24-x)^{2}+25=361+x^{2},
откуда OE=x=5
. Следовательно,
R=OB_{1}=\sqrt{OE^{2}+B_{1}E^{2}}=\sqrt{x^{2}+\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{25+\frac{75}{4}}=\frac{5\sqrt{7}}{2}.