8344. Через вершину конуса проведено сечение наибольшей площади. Оказалось, что площадь сечения в два раза больше площади осевого сечения конуса. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.
Ответ. 150^{\circ}
.
Решение. Пусть l
— образующая конуса, \alpha
— угол при вершине осевого сечения, S_{0}
— площадь осевого сечения, \varphi
— угол между образующими в сечении, проведённом через вершину конуса, S
— площадь этого сечения. Тогда
S=\frac{1}{2}l^{2}\sin\varphi.
Если \alpha\leqslant90^{\circ}
, то функция y=\sin\varphi
на промежутке (0;\alpha]
возрастает, поэтому наибольшая площадь сечения равна площади осевого сечения (S_{0}=\frac{1}{2}l^{2}\sin\varphi)
, что противоречит условию задачи. Значит, \alpha\gt90^{\circ}
. Тогда
S=\frac{1}{2}l^{2}\sin\varphi\leqslant\frac{1}{2}l^{2},
причём равенство достигается при \varphi=90^{\circ}
. Таким образом, наибольшая площадь сечения равна \frac{l^{2}}{2}
. По условию задачи
\frac{1}{2}l^{2}=2\cdot\frac{1}{2}l^{2}\sin\alpha,
или \sin\alpha=\frac{1}{2}
. Так как 90^{\circ}\lt\alpha\lt180^{\circ}
, то \alpha=150^{\circ}
.
