8363. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна a
, боковое ребро равно b
. Найдите радиус описанного шара.
Ответ. \frac{b^{2}}{2\sqrt{b^{2}-a^{2}}}
.
Решение. Первый способ. Пусть PM
— высота правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF
(рис. 1), R
— искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр её описанной сферы лежит на прямой PM
. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую PM
и точку A
(рис. 2). Получим окружность радиуса R
с центром на прямой PM
, проходящую через точки A
, P
и D
. Тогда R
— радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника APD
, в котором
AP=DP=b,AD=2AM=2a.
Из прямоугольного треугольника AMP
находим, что
\cos\angle PAM=\frac{AM}{AP}=\frac{a}{b}.
Поэтому
\sin\angle PAM=\sqrt{1-\cos^{2}\angle PAM}=\sqrt{1-\left(\frac{a}{b}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{b}.
Следовательно,
R=\frac{DP}{2\sin\angle PAD}=\frac{DP}{2\sin\angle PAM}=\frac{b}{\frac{2\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{b}}=\frac{b^{2}}{2\sqrt{b^{2}-a^{2}}}.
Второй способ. Пусть O
— центр сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF
с вершиной P
. Поскольку пирамида правильная, точка O
лежит на её высоте PM
. Из прямоугольных треугольников AMP
и AMO
находим, что
PM=\sqrt{AP^{2}-AM^{2}}=\sqrt{b^{2}-a^{2}},
OM=\sqrt{OA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{R^{2}-a^{2}}.
Если точка O
лежит на отрезке PM
, то OM+OP=PM
, или
\sqrt{R^{2}-a^{2}}+R=\sqrt{b^{2}-a^{2}}.
Решим полученное уравнение:
\sqrt{R^{2}-a^{2}}+R=\sqrt{b^{2}-a^{2}}~\Leftrightarrow\sqrt{R^{2}-a^{2}}=\sqrt{b^{2}-a^{2}}-R~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~R^{2}-a^{2}=b^{2}-a^{2}-2R\sqrt{b^{2}-a^{2}}+R^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2R\sqrt{b^{2}-a^{2}}=b^{2}~\Leftrightarrow~R=\frac{b^{2}}{2\sqrt{b^{2}-a^{2}}}.
Возможен также случай, когда точка O
лежит на продолжении высоты PM
за точку M
. Тогда OP=OM+PM
, или
R=\sqrt{R^{2}-a^{2}}+\sqrt{b^{2}-a^{2}},
откуда
R=\frac{b^{2}}{2\sqrt{b^{2}-a^{2}}}.
Третий способ. Пусть PM
— высота правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF
(рис. 1), R
— искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр её описанной сферы лежит на прямой PM
. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую PM
и точку A
(рис. 2). Получим окружность радиуса R
с центром на прямой PM
, проходящую через точки A
, P
и D
. Тогда R
— радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника APD
.
Продолжим PM
до пересечения с окружностью в точке P_{1}
(рис. 2). Тогда \angle PAP_{1}=90^{\circ}
, поэтому PM\cdot MP_{1}=MA^{2}
, или
\sqrt{b^{2}-a^{2}}\cdot(2R-\sqrt{b^{2}-a^{2}})=a^{2}.
Отсюда находим, что
R=\frac{b^{2}}{2\sqrt{b^{2}-a^{2}}}.
