8374. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a
, боковое ребро равно b
. Найдите радиус шара, касающегося плоскости основания и боковых рёбер пирамиды.
Ответ. \frac{a(b\sqrt{2}-a)}{\sqrt{2}\sqrt{2b^{2}-a^{2}}}
.
Решение. Пусть PM
— высота правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
, r
— искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр Q
сферы, касающейся сторон основания и боковых рёбер пирамиды, лежит на прямой PM
, а точка касания сферы со плоскостью основания совпадает с точкой M
. Если L
— точка касания сферы с боковым ребром AP
, то
QL\perp AP,~AM=\frac{a}{\sqrt{2}},~AL=AM=\frac{a}{\sqrt{2}},
PL=AP-AL=b-\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{b\sqrt{2}-a}{\sqrt{2}}.
Из прямоугольного треугольника AMP
находим, что
PM=\sqrt{AP^{2}-AM^{2}}=\sqrt{b^{2}-\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{2b^{2}-a^{2}}}{\sqrt{2}}.
Из подобия прямоугольных треугольников PLQ
и PMA
следует, что \frac{QL}{PL}=\frac{AM}{PM}
. Следовательно,
r=QL=PL\cdot\frac{AM}{PM}=\frac{b\sqrt{2}-a}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{2b^{2}-a^{2}}}{\sqrt{2}}}=\frac{a(b\sqrt{2}-a)}{\sqrt{2}\sqrt{2b^{2}-a^{2}}}.
