8375. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна a
, боковое ребро равно b
. Найдите радиус шара, касающегося плоскости основания и боковых рёбер пирамиды.
Ответ. \frac{a(b-a)}{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}
.
Решение. Пусть PM
— высота правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF
, r
— искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр Q
сферы, касающейся плоскости основания и боковых рёбер пирамиды, лежит на прямой PM
, а точка касания сферы с плоскостью основания совпадает с точкой M
. Если L
— точка касания сферы с боковым ребром AP
, то
QL\perp AP,~AM=a,~AL=AM=a,~PL=AP-AL=b-a.
Из прямоугольного треугольника AMP
находим, что
PM=\sqrt{AP^{2}-AM^{2}}=\sqrt{b^{2}-a^{2}}.
Из подобия прямоугольных треугольников PLQ
и PMA
следует, что \frac{QL}{PL}=\frac{AM}{PM}
. Следовательно,
r=QL=PL\cdot\frac{AM}{PM}=(b-a)\cdot\frac{a}{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}=\frac{a(b-a)}{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}.
