8392. Дан трёхгранный угол OABC
с вершиной O
, в котором \angle BOC=\alpha
, \angle COA=\beta
, \angle AOB=\gamma
. Пусть вписанная в него сфера касается грани BOC
в точке K
. Найдите угол BOK
.
Ответ. \frac{\alpha+\gamma-\beta}{2}
.
Решение. Пусть сфера с центром Q
, вписанная в трёхгранный угол, касается граней AOB
и AOC
в точках L
и M
соответственно, а плоскость, проведённая через пересекающиеся прямые QL
и QK
, пересекает ребро OB
в точке P
. Прямая OB
перпендикулярна проведённой плоскости, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым QL
и QK
этой плоскости. Значит, KP\perp OB
и LP\perp OB
.
Обозначим \angle KOB=\varphi
. Прямоугольные треугольники OPK
и OPL
равны по катету и гипотенузе, поэтому
\angle LOB=\angle LOP=\angle KOP=\angle KOB=\varphi.
Аналогично,
\angle AOM=\angle AOL,~\angle COM=\angle COK.
Значит,
\beta=\angle AOC=\angle AOM+\angle COM=\angle AOL+\angle COK=
=(\angle AOB-\angle BOL)+(\angle BOC-\angle BOK)=(\gamma-\varphi)+(\alpha-\varphi)=\alpha+\gamma-2\varphi.
Следовательно,
\varphi=\frac{\alpha+\gamma-\beta}{2}.