8395. В правильной треугольной пирамиде SABC
сторона основания ABC
равна 2, боковое ребро равно 5. Сфера с центром O
на прямой SC
касается рёбер SA
, SB
и AB
. Найдите расстояния от центра сферы до плоскостей ASB
и ABC
, а также радиус сферы.
Ответ. \frac{5}{23}\sqrt{\frac{142}{3}}
, \frac{\sqrt{213}}{23}
, \frac{16\sqrt{6}}{23}
.
Решение. Плоскость грани ASB
пересекает сферу по окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ASB
. Пусть D
— центр этой окружности, r
— её радиус, p
— полупериметр треугольника, SE
— высота треугольника ASB
, SH
— высота пирамиды. Тогда
CE=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},~SE=\sqrt{SA^{2}-AE^{2}}=\sqrt{25-1}=2\sqrt{6},
S_{\triangle ASC}=\frac{1}{2}AB\cdot SE=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\sqrt{6}=2\sqrt{6},~
p=\frac{5+5+2}{2}=6,~r=\frac{S_{\triangle ASB}}{p}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3},
SD=SE-DE=SE-r=2\sqrt{6}-\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{5\sqrt{6}}{3},
SH=\sqrt{SA^{2}-HA^{2}}=\sqrt{5^{2}-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{71}}{\sqrt{3}}.
Обозначим \angle CSE=\alpha
. По теореме косинусов находим, что
\cos\alpha=\frac{SC^{2}+SE^{2}-CE^{2}}{2SC\cdot SE}=\frac{25+24-3}{2\cdot5\cdot2\sqrt{6}}=\frac{23}{10\sqrt{6}}.
Тогда
\tg\alpha=\sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\alpha}-1}=\sqrt{\frac{600}{529}-1}=\frac{\sqrt{71}}{23}.
Прямая OD
, проходящая через центр сферы и центр окружности сечения, перпендикулярна плоскости сечения. Поэтому OD
— перпендикуляр к плоскости ASB
. Из прямоугольного треугольника ODS
находим, что
OD=SD\tg\angle OSD=SD\tg\alpha=\frac{5\sqrt{6}}{3}\cdot\frac{\sqrt{71}}{23}=\frac{5}{23}\sqrt{\frac{142}{3}},
SO=\frac{SD}{\cos\alpha}=\frac{\frac{5\sqrt{6}}{3}}{\frac{23}{10\sqrt{6}}}=\frac{100}{23},~OC=SC-SO=5-\frac{100}{23}=\frac{15}{23}.
Значит, \frac{OC}{SC}=\frac{3}{23}
.
Пусть K
— ортогональная проекция точки O
на плоскость основания ABC
. Тогда K
лежит на прямой CE
— ортогональной проекции прямой SC
на плоскость ABC
. Треугольники OCK
и SCH
подобны с коэффициентом \frac{3}{23}
. Следовательно,
OK=\frac{3}{23}SH=\frac{3}{23}\cdot\frac{\sqrt{71}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{213}}{23}.
Пусть R
— радиус сферы. По теореме косинусов из треугольника SOE
находим, что
R=OE=\sqrt{SO^{2}+SE^{2}-2SO\cdot SE\cos\alpha}=
=\sqrt{\left(\frac{100}{23}\right)^{2}+24-2\cdot\frac{100}{23}\cdot2\sqrt{6}\cdot\frac{23}{10\sqrt{6}}}=\sqrt{\left(\frac{100}{23}\right)^{2}-16}=
=\sqrt{\left(\frac{100}{23}\right)^{2}-4^{2}}=\sqrt{\left(\frac{100}{23}-4\right)\left(\frac{100}{23}+4\right)}=\sqrt{\frac{8}{23}\cdot\frac{192}{23}}=\frac{16\sqrt{6}}{23}.