8396. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно b
, а плоский угол при вершине равен \alpha
. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.
Ответ. \frac{b}{2\sqrt{\cos\alpha}}
.
Решение. Пусть PABCD
— правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P
, M
— центр основания ABCD
, K
— середина ребра AB
. Обозначим AB=a
, \angle MAP=\varphi
.
Так как PK
— высота равнобедренного треугольника APB
, то
a=AB=2AK=2AP\sin\angle APK=2b\sin\frac{\alpha}{2}.
Из прямоугольного треугольника AMP
находим, что
\cos\varphi=\cos\angle MAP=\frac{AM}{AP}=\frac{a\sqrt{2}}{2b}=\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}.
Тогда
\sin\varphi=\sqrt{1-\cos^{2}\varphi}=\sqrt{1-2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{\cos\alpha}
(угол MAP
— острый).
Пусть R
— искомый радиус. Рассмотрим сечение пирамиды и описанной около неё сферы плоскостью, проходящей через точки A
, P
и C
. Получим равнобедренный треугольник APC
, вписанный в окружность радиуса R
. По теореме синусов
R=\frac{AP}{2\sin\angle ACP}=\frac{b}{2\sin\varphi}=\frac{b}{2\sqrt{\cos\alpha}}.