8399. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник со стороной 1. Найдите радиус сферы, касающейся оси конуса, его основания и боковой поверхности.
Ответ. \frac{\sqrt{3}-1}{4}
.
Решение. Пусть сфера радиуса r
с центром Q
касается плоскости основания конуса с вершиной A
в точке M
, оси AO
— в точке P
(O
— центр основания конуса), боковой поверхности — в точке K
(рис. 1). Рассмотрим сечение конуса и сферы плоскостью, проходящей через параллельные прямые QM
и AO
(рис. 2). Получим равносторонний треугольник ABC
со стороной 1 и окружность радиуса r
с центром Q
, касающуюся стороны BC
в точке M
, высоты AO
— в точке P
, стороны AB
— в точке K
. Так как r
— радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник AOB
с катетами AO=\frac{\sqrt{3}}{2}
, OB=\frac{1}{2}
и гипотенузой AB=1
, то
r=\frac{1}{2}(AO+OB-AB)=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}-1\right)=\frac{\sqrt{3}-1}{4}
(см. задачу 217).