8404. Вершины A
и B
призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
лежат на оси цилиндра, а остальные вершины — на боковой поверхности цилиндра. Найдите в этой призме двугранный угол с ребром AB
.
Ответ. 120^{\circ}
.
Решение. При ортогональном проектировании данных цилиндра и призмы на плоскость основания цилиндра боковая поверхность перейдёт в окружность, равную окружности основания, вершины A
и B
перейдут в центр O
этой окружности, вершины A_{1}
и B_{1}
— в некоторую точку M
этой окружности, а вершины C
и C_{1}
— соответственно в точки P
и Q
, лежащие на окружности (рис. 2).
Так как AA_{1}\parallel CC_{1}
и AA_{1}=CC_{1}
, то OM=PQ
. Аналогично, OP=MQ
. Кроме того, OM=OP
как радиусы одной окружности. Значит, четырёхугольник OMQP
— ромб, в котором диагональ OQ
равна стороне. Поэтому \angle MOQ=\angle POQ=60^{\circ}
, а \angle MOP=120^{\circ}
.
Прямые OP
и OM
лежат в гранях двугранного угла с ребром AB
и перпендикулярны прямой AB
. Значит, MOP
— линейный угол искомого двугранного угла.