8406. Даны скрещивающиеся прямые a
и b
и плоскость \alpha
, перпендикулярная прямой a
и пересекающая её в точке A
. Докажите, что расстояние между прямыми a
и b
равно расстоянию от точки A
до ортогональной проекции b'
прямой b
на плоскость \alpha
, а угол между прямыми b
и b'
дополняет до 90^{\circ}
угол между прямыми a
и b
.
Решение. Если прямые b
и b'
параллельны или совпадают, то утверждение очевидно. Пусть прямые b
и b'
пересекаются в точке D
, B
— основание перпендикуляра, опущенного из точки A
на прямую b'
. Прямая a
параллельна плоскости прямых b
и b'
, так как в этой плоскости есть прямая, параллельная прямой a
(например, прямая CC'
, где C
— точка прямой b
, отличная от точки D
, а C'
— ортогональная проекция точки C
на плоскость \alpha
). Тогда AB
— расстояние от точки A
, лежащей на прямой a
, до плоскости, проходящей через прямую b
параллельно прямой a
. Следовательно, расстояние между прямыми a
и b
равно AB
.
Так как прямая CC'
параллельна прямой a
, то угол между прямыми a
и b
равен углу между прямыми CC'
и b
, т. е. углу C'CD
, а угол C'CD
дополняет до 90^{\circ}
угол между прямой b
и плоскостью \alpha
.