8421. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
известно, что AB=AA_{1}=12
и AD=30
. Точка M
расположена в грани ABB_{1}A_{1}
на расстоянии 1 от середины AB
и на равных расстояниях от вершин A
и B
. Точка N
лежит в грани DCC_{1}D_{1}
и расположена симметрично точке M
относительно центра параллелепипеда. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда между точками M
и N
.
Ответ. 40.
Указание. Рассмотрите различные развёртки поверхности параллелепипеда.
Решение. Предположим, что путь пересекает рёбра A_{1}B_{1}
и C_{1}D_{1}
(или рёбра AB
и CD
). В этом случае (рис. 2) длина кратчайшего пути равна 11+30+1=42
.
Предположим, что путь последовательно пересекает рёбра BB_{1}
, B_{1}C_{1}
и C_{1}D_{1}
(рис. 3). Рассмотрим часть такой развёртки параллелепипеда, которая содержит прямоугольники A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и BB_{1}C_{1}C
с общей стороной B_{1}C_{1}
, квадрат CDD_{1}C_{1}
, имеющий общую сторону D_{1}C_{1}
с прямоугольником A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, и квадрат AA_{1}B_{1}B
, имеющий общую сторону BB_{1}
с прямоугольником BB_{1}C_{1}C
. По теореме Пифагора находим, что в этом случае кратчайший путь равен \sqrt{37^{2}+17^{2}}=\sqrt{1658}
.
Если же путь последовательно пересекает рёбра AB
, BC
, B_{1}C_{1}
и C_{1}D_{1}
, то рассмотрим часть такой развёртки параллелепипеда (рис. 4), которая содержит прямоугольники ABCD
и BCC_{1}B_{1}
с общей стороной BC
, прямоугольники A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и BB_{1}C_{1}C
с общей стороной B_{1}C_{1}
, квадрат CDD_{1}C_{1}
, имеющий общую сторону C_{1}D_{1}
с прямоугольником A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, и квадрат ABB_{1}A_{1}
, имеющий общую сторону AB
с прямоугольником ABCD
. По теореме Пифагора находим, что в этом случае кратчайший путь равен \sqrt{24^{2}+32^{2}}=40
.
Таким образом, самый короткий из рассмотренных путей равен 40. Остальные возможные пути очевидно длиннее.