8424. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба между серединой его ребра и наиболее удалённой от неё точки поверхности куба.
Ответ. \frac{\sqrt{13}}{2}
.
Указание. Рассмотрите различные развёртки поверхности куба.
Решение. Пусть M
— середина ребра AA_{1}
единичного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
(рис. 1). Рассмотрим кратчайший путь по поверхности куба между точкой M
и произвольной точкой грани ABCD
. Тогда этот путь должен пересекать ребро AD
(или AB
). Сделав развёртку куба, частью которой являются квадраты AA_{1}D_{1}D
и ABCD
с общей стороной AD
(рис. 2), получим, что наиболее удалённая от M
точка — это точка C
. В этом случае минимальный путь равен
\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+1^{2}}=\frac{\sqrt{13}}{2}.
Рассмотрим кратчайший путь по поверхности куба между точкой M
и произвольной точкой грани BB_{1}C_{1}C
.
Тогда этот путь должен пересекать ребро BB_{1}
. Сделав развёртку куба, частью которой являются квадраты AA_{1}B_{1}B
и BB_{1}C_{1}C
с общей стороной BB_{1}
(рис. 3), получим, что наиболее удалённая от M
точка — это точка C
(или C_{1}
). В этом случае минимальный путь равен
\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+2^{2}}=\frac{\sqrt{17}}{2}.
Аналогично, для остальных граней куба.
Следовательно, наиболее удалённая от M
точка поверхности куба — это точка C
(или C_{1}
), а кратчайший путь равен \frac{\sqrt{13}}{2}
.