8426. Радиус основания конуса и образующая равны соответственно \frac{2}{3}
и 2. Найдите длину кратчайшего замкнутого пути, пересекающего все образующие конуса и проходящего через конец одной из них, принадлежащий основанию.
Ответ. 2\sqrt{3}
.
Указание. Рассмотрите развёртку боковой поверхности конуса.
Решение. Пусть r
— радиус основания конуса с вершиной P
(рис. 1), l
— образующая, r=\frac{2}{3}
, l=2
, A
— точка на окружности основания конуса. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор A'P'A''
окружности радиуса l
, длина дуги A'A''
которого равна 2\pi r
(рис. 2). Если \alpha
— угол этого сектора, то
\alpha=2\pi\frac{r}{l}=2\pi\cdot\frac{\frac{2}{3}}{2}=\frac{2\pi}{3}.
Искомый кратчайший путь равен кратчайшему пути между точками A'
и A''
по рассматриваемой развёртке, т. е. длине отрезка A'A''
. Из равнобедренного треугольника A'P'A''
находим, что
A'A''=2A'P'\sin\frac{1}{2}\angle A'P'A''=2l\sin\frac{\pi}{3}=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}.