8430. Два противоположных ребра треугольной пирамиды равны a
, два других противоположных ребра равны b
, два оставшихся ребра равны c
. Найдите радиус описанной сферы.
Ответ. \frac{1}{4}\sqrt{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}
.
Указание. Достройте данный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей.
Решение. Рассмотрим описанный параллелепипед данного тетраэдра (см. задачу 7041). Поскольку тетраэдр равногранный (см. задачу 7266), этот параллелепипед — прямоугольный (см. задачу 7994). Около него можно описать сферу. Эта сфера проходит через все вершины тетраэдра. Следовательно, задача сводится к нахождению радиуса сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда.
Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— полученный прямоугольный параллелепипед, а ACB_{1}D_{1}
— исходный тетраэдр, в котором
AC=B_{1}D_{1}=a,~AD_{1}=B_{1}C=b,~AB_{1}=D_{1}C=c.
Обозначим AB=x
, AD=y
, AA_{1}=z
. Тогда
\syst{x^{2}+y^{2}=a^{2}\\y^{2}+z^{2}=b^{2}\\z^{2}+x^{2}=c^{2},\\}
откуда находим, что
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Пусть R
— искомый радиус. Тогда
R=\frac{1}{2}AC_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}+AD^{2}+AA_{1}}=\frac{1}{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=
=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}.