8436. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, вписанного в единичный куб так, что ось цилиндра лежит на диагонали куба, а каждое основание касается трёх граней куба в их центрах.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{3}
.
Решение. Пусть окружность радиуса r
одного из оснований цилиндра с высотой h
касается граней ABCD
, CC_{1}D_{1}D
и AA_{1}D_{1}D
единичного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
в точках K
, L
и M
соответственно. Так как K
, L
и M
— середины диагоналей AC
, CD_{1}
и AD_{1}
соответствующих граней куба, то эта окружность вписана в равносторонний треугольник ACD_{1}
со стороной \sqrt{2}
. Тогда
r=\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{6}.
Окружность второго основания цилиндра вписана в равносторонний треугольник BA_{1}C_{1}
. Ось конуса проходит через центры этих окружностей перпендикулярно плоскостям ACD_{1}
и BA_{1}C_{1}
. Известно, что эти плоскости делят диагональ куба на три равные части. Поэтому
h=\frac{1}{3}CB_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Следовательно, площадь осевого сечения цилиндра равна
2rh=2\cdot\frac{\sqrt{6}}{6}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}.