8437. Центры четырёх сфер радиуса r
(r\lt\frac{1}{\sqrt{2}})
расположены в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами, равными 2, и в середине его гипотенузы. Найдите радиус сферы, касающейся этих четырёх шаров.
Ответ. \frac{1}{2r}
, \frac{1}{r}
.
Решение. Пусть ABC
— данный треугольник со сторонами AC=BC=2
и прямым углом при вершине C
, M
— середина гипотенузы AB
, O
— центр искомой сферы, R
— её радиус. Ясно, что искомая сфера не может касаться всех данных сфер внешним образом или всех данных сфер внутренним образом. Найдём R
при условии, что искомая сфера касается сфер с центрами A
, B
и C
— внешним образом, а сферы с центром M
— внутренним (рис. 1). В этом случае
OA=OB=OC=r+R,~OM=|R-r|.
Из прямоугольного треугольника OAM
находим, что
OA^{2}=OM^{2}+AM^{2},~\mbox{или}~(R+r)^{2}=(R-r)^{2}+2,
откуда R=\frac{1}{2r}
.
Пусть сфера с центром O
касается сфер с центрами A
, C
и M
внутренним образом, а сферы с центром B
— внешним (рис. 2). В этом случае
OA=OC=OM=|R-r|,~OB=R+r.
Так как OA=OC=OM
, то ортогональная проекция K
точки O
на плоскость треугольника ABC
равноудалена от вершин прямоугольного треугольника ACM
. Поэтому K
— середина AC
. Из прямоугольного треугольника OKB
находим, что
OB^{2}=OK^{2}+KB^{2}=OA^{2}-AK^{2}+KB^{2},
или
(R+r)^{2}=(R-r)^{2}-1+5,
откуда R=\frac{1}{r}
.
Точно так же для случая, когда сфера с центром O
касается сфер с центрами B
, C
и M
внутренним образом, а сферы с центром A
— внешним.
Пусть сфера с центром O
касается сфер с центрами C
и M
внутренним образом, а сфер с центрами A
и B
— внешним (рис. 3). В этом случае
OA=OB=R+r,OC=OM=|R-r|.
Так как OA=OB
и OC=OM
, то точка O
лежит на прямой, проходящей через середину P
отрезка CM
перпендикулярна плоскости треугольника ABC
. Из прямоугольных треугольников OAP
и OCP
находим, что
OP^{2}=OA^{2}-AP^{2}=OC^{2}-CP^{2},
или
(R+r)^{2}-\frac{5}{2}=(R-r)^{2}-\frac{1}{2},
откуда R=\frac{1}{2r}
.
Других случаев касания быть не может.