8438. Через центр сферы радиуса R
проведена плоскость. Три равных шара касаются сферы, проведённой плоскости и между собой. Найдите радиусы шаров.
Ответ. \frac{(\sqrt{21}\pm3)R}{4}
.
Решение. Пусть шары радиуса r
касаются плоскости, проходящей через центр O
шара радиуса R
, в точках A
, B
и C
. Тогда O
— центр равностороннего треугольника ABC
со стороной 2r
. Поэтому
OA=OB=OC=\frac{2r\sqrt{3}}{3}.
Проведём плоскость через точку O
и прямую, проходящую через точку A
и центр O_{1}
соответствующего шара. Если шары касаются данной сферы внешним образом, то получим окружность радиуса r
с центром в точке O_{1}
, касающуюся внешним образом окружности радиуса R
, а также касающуюся продолжения диаметра этой окружности в точке A
. Из прямоугольного треугольника OAO_{1}
находим, что
OA=\sqrt{OO_{1}^{2}-O_{1}A^{2}}=\sqrt{(R+r)^{2}-r^{2}}=\sqrt{R^{2}+2rR}.
Из уравнения
\sqrt{R^{2}+2rR}=\frac{2r\sqrt{3}}{3}
находим, что
r=\frac{(\sqrt{21}+3)R}{4}.
Если шары касаются данной сферы внутренним образом, то, рассуждая аналогично, получим уравнение
\sqrt{R^{2}-2rR}=\frac{2r\sqrt{3}}{3}.
Тогда
r=\frac{(\sqrt{21}-3)R}{4}.