8444. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d
и образует с двумя из его граней углы \alpha
и \beta
. Найдите объём параллелепипеда.
Ответ. d^{3}\sin\alpha\sin\beta\sqrt{\cos^{2}\beta-\sin^{2}\alpha}
.
Указание. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— прямоугольный параллелепипед, в котором BD_{1}=d
. Тогда AD_{1}
и CD_{1}
— ортогональные проекции наклонных BD_{1}
и CD_{1}
на плоскости AA_{1}D_{1}D
и DD_{1}C_{1}C
соответственно.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— прямоугольный параллелепипед, в котором BD_{1}=d
. Прямая AB
перпендикулярна пересекающимся прямым AD
и AA_{1}
плоскости AA_{1}D_{1}D
, поэтому прямая AB
перпендикулярна плоскости AA_{1}D_{1}D
. Значит, AB\perp AD_{1}
и AD_{1}
— ортогональная проекция наклонной BD_{1}
на плоскость AA_{1}D_{1}D
. Аналогично, CD_{1}
— ортогональная проекция наклонной BD_{1}
на плоскость DD_{1}C_{1}C
. Тогда AD_{1}B
и CD_{1}B
— углы прямой BD_{1}
с плоскостями AA_{1}D_{1}D
и DD_{1}C_{1}C
соответственно.
Пусть \angle AD_{1}B=\alpha
, \angle CD_{1}B=\beta
. Из прямоугольных треугольников ABD_{1}
, BCD_{1}
и CDD_{1}
находим, что
AB=BD_{1}\sin\alpha=d\sin\alpha,~BC=BD_{1}\sin\beta=d\sin\beta,
CD_{1}=BD_{1}\cos\beta=d\cos\beta,
DD_{1}=\sqrt{CD^{2}_{1}-CD^{2}}=\sqrt{CD^{2}_{1}-AB^{2}}=\sqrt{d^{2}\cos^{2}\beta-d^{2}\sin^{2}\alpha}=
=d\sqrt{\cos^{2}\beta-\sin^{2}\alpha}.
Следовательно,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=AB\cdot BC\cdot DD_{1}=d\sin\alpha\cdot d\sin\beta\cdot d\sqrt{\cos^{2}\beta-\sin^{2}\alpha}=
=d^{3}\sin\alpha\sin\beta\sqrt{\cos^{2}\beta-\sin^{2}\alpha}.