8447. Расстояния от трёх вершин параллелепипеда до противоположных граней равны 2, 3 и 4. Полная поверхность параллелепипеда равна 36. Найдите площади граней параллелепипеда.
Ответ. \frac{108}{13}
; \frac{72}{13}
; \frac{54}{13}
.
Решение. Указанные расстояния есть высоты параллелепипеда. Обозначим через x
, y
и z
площади граней, на которые опущены высоты, равные 2, 3 и 4 соответственно. Пусть V
— объём параллелепипеда. Тогда
2x=3y=4z=V,
откуда находим, что y=\frac{2x}{3}
и z=\frac{x}{2}
. По условию задачи
2x+2y+2z=36,~\mbox{или}~x+y+z=18.
Подставляя в левую часть этого уравнения y=\frac{2x}{3}
и z=\frac{x}{2}
, найдём, что
x=\frac{18}{1+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}=\frac{6\cdot18}{13}=\frac{108}{13}.
Тогда
y=\frac{2x}{3}=\frac{72}{13},~z=\frac{x}{2}=\frac{54}{13}.