8452. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, площади диагональных сечений которого равны \sqrt{13}
, 2\sqrt{10}
и 3\sqrt{5}
.
Ответ. 6.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— прямоугольный параллелепипед, причём
S_{BB_{1}D_{1}D}=\sqrt{13},~S_{CDA_{1}B_{1}}=2\sqrt{10},~S_{ADC_{1}B_{1}}=3\sqrt{5}.
Обозначим AB=x
, BC=y
, AA_{1}=z
. Тогда
BD^{2}=x^{2}+y^{2},~A_{1}D^{2}=y^{2}+z^{2},~AB_{1}=x^{2}+z^{2}.
Так как BB_{1}D_{1}D
, CDA_{1}B_{1}
и ADC_{1}B_{1}
— прямоугольники с площадями \sqrt{13}
, 2\sqrt{10}
и 3\sqrt{5}
, то
\sqrt{13}=S_{BB_{1}D_{1}D}=BD\cdot BB_{1}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\cdot z,
2\sqrt{10}=S_{CDA_{1}B_{1}}=CD\cdot A_{1}D=\sqrt{y^{2}+z^{2}}\cdot x,
3\sqrt{5}=S_{ADC_{1}B_{1}}=AB_{1}\cdot AD=\sqrt{x^{2}+z^{2}}\cdot y.
Отсюда получим систему уравнений
\syst{(x^{2}+y^{2})z^{2}=13\\(y^{2}+z^{2})x^{2}=40\\(x^{2}+z^{2})y^{2}=45,\\}
или
\syst{x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}=13\\x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}=40\\x^{2}y^{2}+z^{2}y^{2}=45.\\}
Складывая почленно первое и второе уравнение и вычитая из результата третье, получим
2x^{2}z^{2}=8,~x^{2}z^{2}=4,~xz=2.
Аналогично, xy=6
и yz=3
. Следовательно,
V^{2}_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=x^{2}y^{2}z^{2}=xy\cdot yz\cdot xz=6\cdot3\cdot2=36,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=6.