8457. На боковом ребре пирамиды взяты две точки, делящие ребро на три равные части. Через них проведены плоскости, параллельные основанию. Найдите объём части пирамиды, заключённой между этими плоскостями, если объём всей пирамиды равен 1.
Ответ. \frac{7}{27}
.
Решение. Пусть точки A_{1}
и A_{2}
лежат на боковом ребре AD
треугольной пирамиды ABCD
с вершиной D
, причём DA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}A
, плоскость, проходящая через точку A_{1}
параллельно плоскости ABC
пересекает боковые рёбра BD
и BC
соответственно в точках B_{1}
и C_{1}
, а плоскость, проходящая через точку A_{2}
параллельно плоскости ABC
, — в точках B_{2}
и C_{2}
. Тогда пирамида DA_{1}B_{1}C_{1}
подобна данной пирамиде DABC
с коэффициентом \frac{DA_{1}}{DA}=\frac{1}{3}
, поэтому
V_{DA_{1}B_{1}C_{1}}=\left(\frac{1}{3}\right)^{3}\cdot V_{DABC}=\frac{1}{27}.
Пирамида DA_{2}B_{2}C_{2}
подобна данной пирамиде DABC
с коэффициентом \frac{DA_{2}}{DA}=\frac{2}{3}
, поэтому
V_{DA_{2}B_{2}C_{2}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\cdot V_{DABC}=\frac{8}{27}.
Следовательно,
V_{A_{1}B_{1}C_{1}A_{2}B_{2}C_{2}}=V_{DA_{2}B_{2}C_{2}}-V_{DA_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{8}{27}-\frac{1}{27}=\frac{7}{27}.
Аналогично для случая произвольной n
-угольной пирамиды.