8476. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с высотой h
и радиусом R
описанной сферы.
Ответ. \frac{h^{2}(2R-h)\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Пусть O
— центр сферы радиуса R
, описанной около правильной треугольной пирамиды ABCD
с вершиной D
(рис. 1). Точка O
лежит на прямой DM
, где M
— центр основания ABC
. По условию задачи DM=h
.
Обозначим AB=BC=AC=a
. Тогда AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}
. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки A
, D
и M
(рис. 2). Получим окружность радиуса R
с центром O
на прямой MD
. Продолжим отрезок DM
за точку M
до пересечения с окружностью в точке P
. Из прямоугольного треугольника APD
находим, что
AM^{2}=DM\cdot MP,~\mbox{или}~\frac{a^{2}}{3}=h(2R-h),
откуда a^{2}=3h(2R-h)
. Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h=
=\frac{1}{3}\cdot3h(2R-h)\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot h=h^{2}(2R-h)\frac{\sqrt{3}}{4}.