8477. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с высотой h
и радиусом r
вписанной сферы.
Ответ. \frac{r^{2}h^{2}\sqrt{3}}{h-2r}
.
Решение. Пусть O
— центр сферы радиуса r
, вписанной в правильную треугольную пирамиду ABCD
с вершиной D
(рис. 1), K
— середина BC
. Точка O
лежит на прямой DM
, где M
— центр основания ABC
. По условию задачи DM=h
.
Обозначим AB=BC=AC=a
, \angle DKM=\beta
. Тогда KM=\frac{a\sqrt{3}}{6}
. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки K
, D
и M
(рис. 2). Получим окружность радиуса r
с центром O
на прямой MD
, касающуюся стороны KM
угла DKM
в точке M
, а стороны KD
— в некоторой точке P
. Из прямоугольного треугольника DPO
находим, что
\cos\beta=\cos\angle POD=\frac{OP}{OD}=\frac{r}{h-r}.
Поэтому
\tg\beta=\sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\beta}-1}=\sqrt{\frac{(h-r)^{2}}{r^{2}}-1}=\frac{\sqrt{h^{2}-2rh}}{r}.
Из прямоугольного треугольника DMK
находим, что
\frac{a\sqrt{3}}{6}=MK=\frac{DM}{\tg\angle DKM}=\frac{DM}{\tg\beta}=\frac{rh}{\sqrt{h^{2}-2rh}},
откуда a=\frac{2rh\sqrt{3}}{\sqrt{h^{2}-2rh}}
. Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h=
=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{2rh\sqrt{3}}{\sqrt{h^{2}-2rh}}\right)^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{r^{2}h^{2}\sqrt{3}}{h-2r}.