8478. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с высотой h
и площадью Q
боковой грани.
Ответ. \frac{1}{2}h\sqrt{3}\left(\sqrt{h^{4}+\frac{4}{3}Q^{2}}-h^{2}\right)
.
Решение. Пусть M
— центр основания ABC
правильной треугольной пирамиды ABCD
с вершиной D
, K
— середина AB
, DM=h
, S_{\triangle ABD}=Q
. Обозначим AB=BC=AC=a
. Тогда
KM=\frac{a\sqrt{3}}{6},~DK=\sqrt{DM^{2}+KM^{2}}=\sqrt{h^{2}+\frac{a^{2}}{12}},
Q=S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DK=\frac{1}{2}a\sqrt{h^{2}+\frac{a^{2}}{12}},~Q^{2}=\frac{1}{4}a^{2}\left(h^{2}+\frac{a^{2}}{12}\right),
48Q^{2}=12a^{2}h^{2}+a^{4},~a^{4}+12a^{2}h^{2}-48Q^{2}=0.
Из полученного уравнения находим, что
a^{2}=\sqrt{36h^{4}+48Q^{2}}-6h^{2}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h=
=\frac{\sqrt{3}}{12}\cdot(\sqrt{36h^{4}+48Q^{2}}-6h^{2})\cdot h=\frac{1}{2}h\sqrt{3}\left(\sqrt{h^{4}+\frac{4}{3}Q^{2}}-h^{2}\right).