8482. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания a
и радиусом r
вписанной сферы.
Ответ. \frac{2ra^{4}}{3(a^{2}-4r^{2})}
.
Решение. Пусть O
— центр сферы радиуса r
, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду PABCD
с вершиной P
(рис. 1), K
— середина BC
. Точка O
лежит на прямой PM
, где M
— центр основания ABCD
. Обозначим PM=h
, \angle PKM=\beta
. Тогда KM=\frac{a}{2}
.
Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки P
, K
и M
(рис. 2). Получим окружность радиуса r
с центром O
на прямой PM
, касающуюся стороны KM
угла PKM
в точке M
, а стороны PK
— в некоторой точке N
, причём KO
— биссектриса угла PKM
, а OM=r
. Из прямоугольного треугольника OMK
находим, что
\tg\angle OKM=\tg\frac{\beta}{2}=\frac{OM}{MK}=\frac{r}{\frac{a}{2}}=\frac{2r}{a}.
Поэтому
\tg\beta=\frac{2\tg\frac{\beta}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\beta}{2}}=\frac{\frac{4r}{a}}{1-\frac{4r^{2}}{a^{2}}}=\frac{4ra}{a^{2}-4r^{2}}.
Из прямоугольного треугольника PMK
находим, что
h=PM=KM\tg\angle PKM=KM\tg\beta=\frac{a}{2}\cdot\frac{4ra}{a^{2}-4r^{2}}=\frac{2ra^{2}}{a^{2}-4r^{2}}.
Следовательно,
V_{PABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot PM=\frac{1}{3}a^{2}h=\frac{1}{3}a^{2}\cdot\frac{2ra^{2}}{a^{2}-4r^{2}}=\frac{2ra^{4}}{3(a^{2}-4r^{2})}.