8486. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с высотой h
и радиусом R
описанной сферы.
Ответ. \frac{2}{3}h^{2}(2R-h)
.
Решение. Пусть O
— центр сферы радиуса R
, описанной около правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
с вершиной P
(рис. 1). Точка O
лежит на прямой PM
, где M
— центр основания ABCD
. По условию задачи PM=h
.
Обозначим AB=BC=CD=AD=a
. Тогда AM=\frac{a\sqrt{2}}{2}
. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки A
, P
и C
(рис. 2). Получим окружность радиуса R
с центром O
на прямой MP
и вписанный в эту окружность равнобедренный треугольник APC
. Продолжим отрезок PM
за точку M
до пересечения с окружностью в точке Q
. Из прямоугольного треугольника APD
находим, что
AM^{2}=PM\cdot MQ,~\mbox{или}~\frac{a^{2}}{2}=h(2R-h),
откуда a^{2}=2h(2R-h)
. Следовательно,
V_{PABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot PM=\frac{1}{3}a^{2}h=\frac{1}{3}\cdot2h(2R-h)\cdot h=\frac{2}{3}h^{2}(2R-h).