8491. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания a
и радиусом R
описанной сферы.
Ответ. \frac{1}{2}a^{2}\sqrt{3}(R\pm\sqrt{R^{2}-a^{2}})
.
Решение. Пусть O
— центр сферы радиуса R
, описанной около правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF
с вершиной P
, M
— центр основания ABCDEF
(рис. 1). Тогда точка O
лежит на прямой PM
. Обозначим PM=h
. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки A
, D
и P
(рис. 2). Получим равнобедренный треугольник APD
, вписанный в окружность радиуса R
с центром O
. Продолжим отрезок PM
за точку M
до пересечения с окружностью в точке Q
. Так как AM
— высота прямоугольного треугольника PAQ
, проведённая из вершины прямого угла, то
AM^{2}=PM\cdot MQ,~\mbox{или}~a^{2}=h(2R-h).
Из полученного уравнения находим, что
h=R\pm\sqrt{R^{2}-a^{2}}.
Следовательно,
V_{PABCDEF}=\frac{1}{3}S_{ABCDEF}\cdot PM=\frac{1}{3}\cdot\frac{6a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h=
=\frac{1}{2}a^{2}\sqrt{3}(R\pm\sqrt{R^{2}-a^{2}}).