8504. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром b
и углом \beta
боковой грани с плоскостью основания.
Ответ. \frac{b^{3}\sqrt{3}\cos^{2}\beta\sin\beta}{\left(\sqrt{3\cos^{2}\beta+1}\right)^{3}}=\frac{b^{3}\sqrt{3}\tg\beta}{\left(\sqrt{\tg^{2}\beta+4}\right)^{3}}
.
Решение. Пусть K
— середина стороны BC
основания ABC
правильной треугольной пирамиды ABCD
, M
— центр основания ABC
. По условию задачи \angle DKM=\beta
. Обозначим AB=BC=AC=a
.
Из прямоугольных треугольников BKD
и DMK
находим, что
DK=\sqrt{BD^{2}-BK^{2}}=\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{4}},
\frac{a\sqrt{3}}{6}=KM=DK\cos\angle DKM=\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{4}}\cdot\cos\beta.
Из полученного уравнения находим
a=\frac{2b\sqrt{3}\cos\beta}{\sqrt{3\cos^{2}\beta+1}}.
Из прямоугольного треугольника DMK
находим, что
DM=MK\tg\angle DKM=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\tg\beta.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\tg\beta=
=\frac{a^{3}\tg\beta}{24}=\left(\frac{2b\sqrt{3}\cos\beta}{\sqrt{3\cos^{2}\beta+1}}\right)^{3}\cdot\frac{\tg\beta}{24}=\frac{b^{3}\sqrt{3}\cos^{2}\beta\sin\beta}{\left(\sqrt{3\cos^{2}\beta+1}\right)^{3}}.