8514. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с радиусом R
описанной сферы и плоским углом \varphi
при вершине.
Ответ. \frac{8}{27}R^{3}\sin^{2}\frac{\varphi}{2}\left(3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}\right)^{2}=\frac{8}{27}R^{3}\sin^{2}\frac{\varphi}{2}(1+2\cos\varphi)^{2}
.
Решение. Пусть O
— центр сферы радиуса R
, описанной около правильной треугольной пирамиды ABCD
с вершиной D
. Точка O
лежит на прямой DM
, где M
— центр основания ABC
, K
— середина BC
. По условию задачи OA=R
, \angle BDC=\varphi
.
Обозначим AB=BC=AC=a
. Тогда BM=\frac{a\sqrt{3}}{3}
. Из прямоугольных треугольников DBK
и BMD
находим, что
BD=\frac{BK}{\sin\angle BDK}=\frac{\frac{a}{2}}{\sin\frac{\varphi}{2}}=\frac{a}{2\sin\frac{\varphi}{2}},
DM=\sqrt{BD^{2}-BM^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}-\frac{a^{2}}{3}}=\frac{a\sqrt{3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}}{2\sqrt{3}\sin\frac{\varphi}{2}}.
Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки A
, D
и M
. Получим окружность радиуса R
с центром O
на прямой MD
. Продолжим отрезок DM
за точку M
до пересечения с окружностью в точке P
. Так как AM
— высота прямоугольного треугольника DAP
, проведённая из вершины прямого угла, то
AM^{2}=DM\cdot MP=DM\cdot(2R-DM)=2R\cdot DM-DM^{2},
или
\frac{a^{2}}{3}=\frac{aR\sqrt{3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}}{\sqrt{3}\sin\frac{\varphi}{2}}-\frac{a^{2}\left(3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}\right)}{12\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{a}{3}=\frac{R\sqrt{3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}}{\sqrt{3}\sin\frac{\varphi}{2}}-\frac{a\left(3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}\right)}{12\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{a}{3}+\frac{a\left(3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}\right)}{12\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}=\frac{R\sqrt{3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}}{\sqrt{3}\sin\frac{\varphi}{2}},
откуда находим, что
a=\frac{4R\sin\frac{\varphi}{2}\sqrt{3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}}{\sqrt{3}}.
Тогда
DM=\frac{a\sqrt{3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}}{2\sqrt{3}\sin\frac{\varphi}{2}}=\frac{4R\sin\frac{\varphi}{2}\sqrt{3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}}{2\sqrt{3}\sin\frac{\varphi}{2}}=\frac{2R\left(3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}\right)}{3}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot DM=\frac{\sqrt{3}}{12}\cdot a^{2}\cdot DM=
=\frac{\sqrt{3}}{12}\cdot\frac{16R^{2}\sin^{2}\frac{\varphi}{2}\left(3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}\right)}{3}\cdot\frac{2R(3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2})}{3}=\frac{8}{27}R^{3}\sin^{2}\frac{\varphi}{2}\left(3-4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}\right)^{2}