8516. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с радиусом r
вписанной сферы и углом \beta
боковой грани с плоскостью основания.
Ответ. r^{3}\sqrt{3}\tg\beta\ctg^{3}\frac{\beta}{2}=\frac{r^{3}\sqrt{3}(1+\cos\beta)^{3}}{\sin\beta\cos\beta}
.
Решение. Пусть Q
— центр сферы радиуса r
, вписанной в правильную треугольную пирамиду ABCD
с вершиной D
, K
— середина BC
(рис. 1). Точка Q
лежит на прямой DM
, где M
— центр основания ABC
. По условию задачи \angle DKM=\beta
. Обозначим AB=BC=AC=a
. Тогда
KM=\frac{a}{2\sqrt{3}},~DM=KM\tg\angle MKD=\frac{a\tg\beta}{2\sqrt{3}}.
Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки D
, K
и M
(рис. 2). Получим окружность радиуса r
с центром Q
на прямой PM
, касающуюся стороны KM
угла DKM
в точке M
. Из прямоугольного треугольника KMQ
находим, что
\frac{a}{2\sqrt{3}}=KM=QM\ctg\angle MKQ=r\ctg\frac{\beta}{2},
откуда a=2r\sqrt{3}\ctg\frac{\beta}{2}
. Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot DM=\frac{\sqrt{3}}{12}\cdot a^{2}\cdot DM=
=\frac{\sqrt{3}}{12}\cdot a^{2}\cdot\frac{a\tg\beta}{2\sqrt{3}}=\frac{a^{3}\tg\beta}{24}=\frac{(2r\sqrt{3}\ctg\frac{\beta}{2})^{3}\tg\beta}{24}=r^{3}\sqrt{3}\tg\beta\ctg^{3}\frac{\beta}{2}.