8578. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
сторона основания ABCD
равна 1, боковое ребро равно 3. Сфера с центром O
на плоскости ADS
касается рёбер SB
, SC
и BC
. Найдите расстояния от центра сферы до плоскостей ABC
и ABS
, а также радиус сферы.
Ответ. \frac{\sqrt{34}}{22}
, \frac{\sqrt{119}}{77}
, \frac{5\sqrt{19}}{22}
.
Решение. Плоскость грани BSC
пересекает сферу по окружности, вписанной в равнобедренный треугольник BSC
. Пусть Q
— центр этой окружности, r
— её радиус, p
— полупериметр треугольника, SM
— высота треугольника BSC
, SF
— высота треугольника ASD
, SH
— высота пирамиды. Тогда
HC=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2},~SF=SM=\sqrt{SC^{2}-BM^{2}}=\sqrt{9-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{35}}{2},
S_{\triangle BSC}=\frac{1}{2}BC\cdot SM=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{\sqrt{35}}{2}=\frac{\sqrt{35}}{4},~
p=\frac{3+3+1}{2}=\frac{7}{2},~r=\frac{S_{\triangle BSC}}{p}=\frac{\frac{\sqrt{35}}{4}}{\frac{7}{2}}=\frac{\sqrt{35}}{14},
SQ=SM-QM=SM-r=\frac{\sqrt{35}}{2}-\frac{\sqrt{35}}{14}=\frac{3\sqrt{35}}{7},
SH=\sqrt{SC^{2}-HC^{2}}=\sqrt{3^{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2}}.
Обозначим \angle MSF=\alpha
. По теореме косинусов находим, что
\cos\alpha=\frac{SM^{2}+SF^{2}-MF^{2}}{2SM\cdot SF}=\frac{\frac{35}{4}+\frac{35}{4}-1}{2\cdot\frac{\sqrt{35}}{2}\cdot\frac{\sqrt{35}}{2}}=\frac{33}{35}.
Тогда
\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{33}{35}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{35}}.
Прямая OQ
, проходящая через центр сферы и центр окружности сечения, перпендикулярна плоскости сечения. Поэтому OQ
— перпендикуляр к плоскости BSC
. Из прямоугольного треугольника OQS
находим, что
SO=\frac{SQ}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3\sqrt{35}}{7}}{\frac{33}{35}}=\frac{5\sqrt{35}}{11},
OF=SF-SO=\frac{\sqrt{35}}{2}-\frac{5\sqrt{35}}{11}=\frac{\sqrt{35}}{22}.
Значит, \frac{OF}{SF}=\frac{\frac{\sqrt{35}}{22}}{\frac{\sqrt{35}}{2}}=\frac{1}{11}
.
1) Пусть L
— ортогональная проекция точки O
на плоскость основания ABCD
. Тогда L
лежит на прямой MF
— ортогональной проекции прямой SF
на плоскость ABCD
. Треугольники OFL
и SFH
подобны с коэффициентом \frac{OF}{SF}=\frac{1}{11}
. Следовательно,
OL=\frac{1}{11}SH=\frac{1}{11}\cdot\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{34}}{22}.
2) Пусть O_{1}
— ортогональная проекция точки O
на высоту SH
пирамиды SABCD
. Тогда прямая OO_{1}
параллельна прямой CD
, лежащей в плоскости CSD
. Значит, прямая OO_{1}
параллельна этой плоскости. Следовательно, расстояние от точки O
до плоскости CSD
равно расстоянию до этой плоскости от точки O_{1}
.
Треугольник SOO_{1}
подобен треугольнику SFH
с коэффициентом \frac{SO}{SF}=\frac{10}{11}
, значит,
SO_{1}=\frac{10}{11}SH=\frac{10}{11}\cdot\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{34}}{11}.
Точка O_{1}
лежит на высоте правильной пирамиды, значит, она равноудалена от плоскостей всех её боковых граней. Пусть P
— ортогональная проекция точки O_{1}
на грань ASD
. Тогда точка P
лежит на апофеме SF
пирамиды, а расстояние от точки O
до плоскости ASD
равно длине отрезка O_{1}P
. Из прямоугольного треугольника SO_{1}P
находим, что
O_{1}P=SO_{1}\sin\angle O_{1}SP=SO_{1}\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{5\sqrt{34}}{11}\cdot\frac{1}{\sqrt{35}}=\frac{1}{11}\sqrt{\frac{170}{7}}.
3) Пусть R
— радиус сферы. По теореме косинусов из треугольника SOM
находим, что
R=OM=\sqrt{SO^{2}+SM^{2}-2SO\cdot SM\cos\alpha}=
=\sqrt{\left(\frac{5\sqrt{35}}{11}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{35}}{2}\right)-2\cdot\frac{5\sqrt{35}}{11}\cdot\frac{\sqrt{35}}{2}\cdot\frac{33}{35}}=\frac{5\sqrt{19}}{22}.