8582. Ребро CD
пирамиды ABCD
равно 1 и перпендикулярно плоскости ABC
. Известно также, что AB=2
, BC=3
и \angle ABC=90^{\circ}
. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду ABCD
.
Ответ. \frac{6}{9+2\sqrt{10}+\sqrt{13}}
.
Указание. Если r
— радиус шара, вписанного в пирамиду, V
— объём пирамиды, а S
— площадь полной поверхности, то V=\frac{1}{3}S
.
Решение. Так как CB
— ортогональная проекция наклонной DB
на плоскость основания ABC
и CB\perp AB
, то по теореме о трёх перпендикулярах DB\perp AB
. Значит, треугольник ABD
— прямоугольный. По теореме Пифагора находим, что
BD=\sqrt{BC^{2}+DC^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10},
AC=\sqrt{BC^{2}+AB^{2}}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.
Пусть S
— площадь полной поверхности пирамиды ABCD
. Тогда
S=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle BCD}+S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}=
=\frac{1}{2}AB\cdot BC+\frac{1}{2}BC\cdot CD+\frac{1}{2}AB\cdot BD+\frac{1}{2}AC\cdot CD=
=\frac{1}{2}\cdot2\cdot3+\frac{1}{2}\cdot3\cdot1+\frac{1}{2}\cdot2\cdot\sqrt{10}+\frac{1}{2}\cdot\sqrt{13}\cdot1=
=\frac{1}{2}(9+2\sqrt{10}+\sqrt{13}).
Пусть V
— объём пирамиды ABCD
, r
— искомый радиус вписанного в пирамиду шара. Так как DC
— высота пирамиды, то
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DC=\frac{1}{3}\cdot3\cdot1=1.
С другой стороны, V=\frac{1}{3}S\cdot r
. Следовательно,
r=\frac{3V}{S}=\frac{3}{\frac{1}{2}(9+2\sqrt{10}+\sqrt{13})}=\frac{6}{9+2\sqrt{10}+\sqrt{13}}.