8587. На рёбрах BC
, CD
и AD
тетраэдра ABCD
объёма V
взяты соответственно точки L
, M
и N
, причём 3BL=BC
, 4CM=CD
и 5DN=AD
. Найдите объём тетраэдра NMLB
.
Ответ. \frac{V}{60}
.
Решение. Пусть AA_{1}
— высота тетраэдра ABCD
, а DP
и MQ
— высоты треугольников BCD
и BCM
. Тогда высота NN_{1}
тетраэдра NMLB
равна \frac{1}{5}AA_{1}
, а MQ=\frac{1}{4}DP
. Тогда
V_{NMLB}=\frac{1}{3}S_{\triangle MLB}\cdot NN_{1}=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{2}BL\cdot MQ\right)\cdot\frac{1}{5}AA_{1}=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}BC\cdot\frac{1}{4}DP\right)\cdot\frac{1}{5}AA_{1}=
=\left(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{5}\right)\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{2}BC\cdot DP\right)\cdot AA_{1}=\frac{1}{60}\cdot\left(\frac{1}{3}S_{\triangle BCD}\cdot AA_{1}\right)=\frac{1}{60}V.