8607. Боковые рёбра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны, а площади боковых граней равны S
, P
и Q
. Найдите радиус вписанного шара. Найдите также радиус шара, касающегося основания и продолжений боковых граней пирамиды.
Ответ. \frac{\sqrt{2SPQ}}{S+P+Q+\sqrt{S^{2}+P^{2}+Q^{2}}}
;
\frac{\sqrt{2SPQ}}{S+P+Q-\sqrt{S^{2}+P^{2}+Q^{2}}}
.
Решение. Пусть DA
, DB
и DC
— боковые рёбра данной треугольной пирамиды ABCD
с вершиной D
, причём S_{\triangle ADB}=S
, S_{\triangle ADC}=P
, S_{\triangle BDC}=Q
. Обозначим AD=a
, BD=b
, CD=c
. Тогда
\syst{S=\frac{1}{2}ab\\P=\frac{1}{2}ac\\Q=\frac{1}{2}bc.}
перемножив почленно два первых уравнения системы и разделив результат на третье, получим, что a=\sqrt{\frac{2SP}{Q}}
.
Пусть S_{\triangle ABC}=T
. Тогда T^{2}=S^{2}+P^{2}+Q^{2}
(см. задачу 7239).
Пусть r
— радиус вписанного в пирамиду ABCD
шара, S_{\mbox{полн.}}
— площадь полной поверхности пирамиды (в нашем случае S_{\mbox{полн.}}=T+S+P+Q
). Известно, что
V=\frac{1}{3}S_{\mbox{полн.}}r=\frac{1}{3}(T+S+P+Q)r
(см. задачу 7185). В то же время, если AD=a
, то
V=\frac{1}{3}S_{\triangle BDC}\cdot AD=\frac{1}{3}Q\cdot a=\frac{1}{3}Q\cdot\sqrt{\frac{2SP}{Q}}=\frac{1}{3}\sqrt{2SPQ}.
Из уравнения
\frac{1}{3}(T+S+P+Q)r=\frac{1}{3}\sqrt{2SPQ}
находим, что
r=\frac{\sqrt{2SPQ}}{S+P+Q+T}=\frac{\sqrt{2SPQ}}{S+P+Q+\sqrt{S^{2}+P^{2}+Q^{2}}}.
Пусть теперь r_{d}
— радиус шара, касающегося основания ABC
и и продолжений боковых граней ADB
, ADC
и BDC
пирамиды ABCD
. Тогда
V=\frac{1}{3}(S_{\triangle ADB}+S_{\triangle ADC}+S_{\triangle BDC}-S_{\triangle ABC})r_{d}=\frac{1}{3}(S+P+Q-T)r_{d}.
Из уравнения
\frac{1}{3}(S+P+Q-T)r_{d}=\frac{1}{3}\sqrt{2SPQ}
находим, что
r_{d}=\frac{\sqrt{2SPQ}}{S+P+Q-T}=\frac{\sqrt{2SPQ}}{S+P+Q-\sqrt{S^{2}+P^{2}+Q^{2}}}.