8628. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 5, 12 и 13, а её высота образует с высотами боковых граней (опущенных из той же вершины) одинаковые углы, не меньшие 30^{\circ}
. Какой наибольший объём может иметь такая пирамида?
Ответ. 150\sqrt{3}
.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— основания перпендикуляров, опущенных из основания O
высоты DO
пирамиды ABCD
на стороны соответственно BC
, AC
и AB
основания ABC
, причём BC=12
, AC=5
, AB=13
. По теореме о трёх перпендикулярах DB_{1}\perp AC
, DC_{1}\perp AB
и DA_{1}\perp BC
. Значит, DB_{1}
, DC_{1}
и DA_{1}
— высоты боковых граней пирамиды. По условию задачи \angle ODB_{1}=\angle ODC_{1}=\angle ODA_{1}
.
Прямоугольные треугольники ODB_{1}
, ODC_{1}
и ODA_{1}
равны по катету и прилежащему острому углу, значит, OB_{1}=OC_{1}=OA_{1}
, т. е. точка O
равноудалена от прямых, на которых лежат стороны треугольника ABC
. Следовательно, O
— либо центр вписанной окружности этого треугольника (рис. 1), либо центр его вневписанной окружности (рис. 2).
Обозначим \angle ODB_{1}=\angle ODC_{1}=\angle ODA_{1}=\alpha\geqslant30^{\circ}
. Заметим, что треугольник ABC
— прямоугольный (AC^{2}+BC^{2}=25+144=169=13^{2}=AB^{2}
), причём \angle ACB=90^{\circ}
. Пусть r
— радиус его вписанной окружности, а r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон BC
, AC
и AB
соответственно, S
— площадь треугольника ABC
, p
— его полупериметр. Тогда
S=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot5\cdot12=30,
p=\frac{1}{2}(AC+BC+AB)=\frac{1}{2}(5+12+13)=15,~r=\frac{S}{p}=\frac{30}{15}=2,~
r_{a}=\frac{S}{p-BC}=\frac{30}{3}=10,~r_{b}=\frac{S}{p-AC}=\frac{30}{10}=3,~r_{c}=\frac{S}{p-BC}=\frac{30}{2}=15.
Если h
, h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
высоты пирамиды соответствующей каждому из рассмотренных случаев, то
h=r\ctg\alpha,~h_{a}=r_{a}\ctg\alpha,~h_{b}=r_{b}\ctg\alpha,~h_{c}=r_{c}\ctg\alpha.
Поскольку в каждом из этих случаев площадь основания пирамиды одна и та же, объём пирамиды максимален, если максимальна её высота. В свою очередь, максимальная высота соответствует максимальному из найденных четырёх радиусов, т. е. r_{c}=15
. Поэтому
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DO=\frac{1}{3}S\cdot h_{c}=\frac{1}{3}\cdot30\cdot15\ctg\alpha=150\ctg\alpha,
а так как \alpha\geqslant30^{\circ}
, то \ctg\alpha\leqslant\ctg30^{\circ}=\sqrt{3}
. Следовательно, V_{ABCD}\leqslant150\sqrt{3}
, причём равенство достигается, если радиус равен r_{c}
, а \alpha=30^{\circ}
.