8631. Найдите объём тетраэдра ABCD
с рёбрами AB=3
, AC=5
и BD=7
, если расстояние между серединами M
и N
его рёбер AB
и CD
равно 2, а прямая AB
образует равные углы с прямыми AC
, BD
и MN
.
Ответ. 4\sqrt{6}
.
Решение. Достроим тетраэдр ABCD
до параллелепипеда APBQECGD
, проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей (AE\parallel PC\parallel BG\parallel QD
). Тогда AE\parallel MN
, AE=MN=2
.
На продолжении отрезка CE
за точку E
отложим отрезок EF
, равный CE
. Тогда AFEP
— параллелограмм, поэтому AF\parallel PE\parallel BD
и AF=PE=BD=7
.
Поскольку прямая AB
образует равные углы с прямыми BD
и MN
, она образует равные углы и с параллельными им прямыми AF
и AE
. Значит, прямая AB
образует равные углы с прямыми AF
, AE
и AC
, лежащими в плоскости AECP
. Поэтому ортогональная проекция точки B
на эту плоскость попадает на биссектрису каждого из углов между прямыми AF
и AE
, AF
и AC
, AE
и AC
. Следовательно, ортогональная проекция точки B
на плоскость AECP
совпадает с точкой A
, т. е. AB
— перпендикуляр к этой плоскости. Значит, AB
— высота четырёхугольной пирамиды BAECP
, основание которой — параллелограмм AECP
со сторонами AE=CP=2
и диагоналями AC=5
и EP=7
.
На продолжении ребра AE
за точку E
отложим отрезок EH=AE=2
. Тогда AH=2AE=4
, CH=PE=7
, а
S_{AECP}=S_{\triangle AHC}=\sqrt{8(8-7)(8-5)(8-4)}=4\sqrt{6}.
Заметим, что и объём тетраэдра ABCD
и объём пирамиды BAECP
равны третьей части объёма параллелепипеда APBQECGD
. Следовательно,
V_{ABCD}=V_{BAECP}=\frac{1}{3}S_{AECP}\cdot AB=\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{6}\cdot3=4\sqrt{6}.