8643. В шар радиуса 4 вписана правильная шестиугольная пирамида с высотой 6, а в неё вписан второй шар. Найдите радиус второго шара.
Ответ. \frac{3(\sqrt{5}-1)}{2}=\frac{6}{\sqrt{5}+1}
.
Решение. Пусть PABCDEF
— правильная шестиугольная пирамида с вершиной P
(рис. 1), PH
— её высота, M
и N
— середины сторон соответственно AB
и DE
, O
— центр вписанного шара. Обозначим AB=AH=a
, R
— радиус описанного шара. По условию задачи PH=6
, R=4
.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через боковые рёбра PA
и PD
(рис. 2). Тогда высота PH
, а значит, и центр описанного шара, лежит в этой плоскости. Сечение сферы, описанной около пирамиды, — окружность радиуса R
, описанная около равнобедренного треугольника APD
. Продолжим высоту PH
до пересечения с этой окружностью в точке Q
. Тогда DH=a
— высота прямоугольного треугольника PDQ
, проведённая из вершины прямого угла PDQ
. Значит, DH^{2}=PH\cdot HQ
, или
a^{2}=PH(PQ-PH)=6(2R-6)=6(8-6)=12,
откуда a=2\sqrt{3}
. Тогда
MH=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=3.
Центр O
шара, вписанного в правильную пирамиду, также лежит на её высоте, а точки касания с боковыми гранями — на апофемах пирамиды. Пусть радиус шара равен r
. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P
, M
и N
(рис. 3). Получим равнобедренный треугольник PMN
и вписанную в него окружность радиуса r
с центром Q
. Обозначим \angle PMH=\beta
. Из прямоугольного треугольника PMH
находим, что
\tg\beta=\frac{PH}{MH}=\frac{6}{3}=2.
Центр окружности, вписанной в угол лежит, на биссектрисе этого угла, поэтому \angle O_{1}MH=\frac{\beta}{2}
. Подставив \tg\beta=2
в левую часть формулы \tg\beta=\frac{2\tg\frac{\beta}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\beta}{2}}
, найдём, что \tg\frac{\beta}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
. Следовательно,
r=O_{1}H=MH\tg\frac{\beta}{2}=3\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3(\sqrt{5}-1)}{2}.