8839. Точка D
является серединой бокового ребра BB_{1}
правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. На боковой грани AA_{1}C_{1}C
взята точка E
, на основании ABC
— точка F
так, что прямые EB_{1}
и FD
параллельны. Какой наибольший объём может иметь призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, если EB_{1}=1
, FD=\frac{3}{4}
, EF=\frac{1}{2\sqrt{3}}
?
Ответ. \frac{4\sqrt{3}}{27}
.
Решение. Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через параллельные прямые B_{1}E
и DF
(рис. 1). Эта плоскость содержит боковое ребро BB_{1}
и пересекает рёбра AC
и A_{1}C_{1}
в некоторых точках L
и K
соответственно. Тогда BLKB_{1}
— прямоугольник.
Обозначим \angle KB_{1}E=\angle BFD=\alpha
. Из прямоугольных треугольников KB_{1}E
и BFD
находим, что
KB_{1}=B_{1}E\cos\alpha=\cos\alpha,~KE=B_{1}E\sin\alpha=\sin\alpha,
BF=DF\cos\alpha=\frac{3}{4}\cos\alpha,~BD=DF\sin\alpha=\frac{3}{4}\sin\alpha.
Тогда
KL=BB_{1}=2BD=\frac{3}{2}\sin\alpha,~EL=KL-KE=\frac{3}{2}\sin\alpha-\sin\alpha=\frac{1}{2}\sin\alpha,
LF=BL-BF=KB_{1}-BF=\cos\alpha-\frac{3}{4}\cos\alpha=\frac{1}{4}\cos\alpha.
По теореме Пифагора LF^{2}+EL^{2}=EF^{2}
, или \frac{1}{16}\cos^{2}\alpha+\frac{1}{4}\sin^{2}\alpha=\frac{1}{12}
, откуда находим, что \sin\alpha=\frac{1}{3}
. Тогда
\cos\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3},~B_{1}K=BL=\cos\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Пусть a
— сторона основания призмы. Поскольку высота призмы постоянна и равна KL=\frac{3}{2}\sin\alpha=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{2}
, объём будет наибольший при наибольшем возможном значении a
.
Рассмотрим всевозможные равносторонние треугольники с вершиной B_{1}
и точкой K
, лежащей на противоположной стороне (рис. 2). Из их вершин, лежащих по одну сторону от прямой B_{1}K
, отрезок B_{1}K
виден под одним и тем же углом, равным 60^{\circ}
. Значит, эти вершины лежат на одной окружности с точками B_{1}
и K
. Наибольшую сторону имеет равносторонний треугольник, сторона которого — диаметр этой окружности, поэтому наибольшую сторону имеет треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
, для которого B_{1}K
— высота, а так как B_{1}K=\frac{a\sqrt{3}}{2}
, то
a=\frac{2B_{1}K}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}.
Следовательно,
V_{\mbox{призмы}}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot KL=\frac{\frac{32}{27}\cdot\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{27}.