8855. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равна 4, а боковое ребро равно 3. На ребре BB_{1}
взята точка F
, а на ребре CC_{1}
— точка G
так, что B_{1}F=1
, CG=\frac{2}{3}
. Точки E
и D
— середины рёбер AC
и B_{1}C_{1}
соответственно. Найдите наименьшее возможное значение суммы EP+PQ
, где точка P
принадлежит отрезку A_{1}D
, а точка Q
— отрезку FG
.
Ответ. \sqrt{\frac{51}{2}}
.
Решение. Заметим, что для любого фиксированного положения точки P
сумма EP+PQ
будет наименьшей, если PQ\perp FG
. Через прямую A_{1}D
проведём плоскость, перпендикулярную прямой FG
. Это можно сделать, так как прямые прямые A_{1}D
и FG
перпендикулярны (прямая FG
лежит в плоскости грани BB_{1}C_{1}C
, а прямая A_{1}D
перпендикулярна этой плоскости). Проведённая плоскость пересекает прямую FG
в искомой точке Q_{0}
(рис. 1). При этом DQ_{0}\perp FG
.
Рассмотрим прямоугольник BB_{1}C_{1}C
(рис. 2). Пусть L
— проекция точки Q_{0}
на B_{1}C_{1}
, N
— точка пересечения прямых FG
и B_{1}C_{1}
, а F'
— проекция точки F
на сторону CC_{1}
. Обозначим \angle GFF'=\alpha
, LD=t
. Тогда
\angle LQ_{0}D=\angle Q_{0}ND=\angle GFF'=\alpha.
Из прямоугольного треугольника GFF'
находим, что
\tg\alpha=\frac{GF'}{FF'}=\frac{GC_{1}-F'C_{1}}{B_{1}C_{1}}=\frac{GC_{1}-FB_{1}}{B_{1}C_{1}}=\frac{\frac{7}{3}-1}{4}=\frac{1}{3}.
Тогда
Q_{0}L=\frac{LD}{\tg\alpha}=\frac{t}{\frac{1}{3}}=3t,~NB_{1}=\frac{FB_{1}}{\tg\alpha}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3,~ND=NB_{1}+B_{1}D=3+2=5.
В прямоугольном треугольнике NQ_{0}D
отрезок Q_{0}L
— высота, проведённая из вершины прямого угла, поэтому Q_{0}L^{2}=NL\cdot LD
, или 9t^{2}=(5-t)t
, откуда находим, что t=\frac{1}{2}
. Тогда LD=t=\frac{1}{2}
, Q_{0}L=3t=\frac{3}{2}
.
Выберем систему координат с началом в точке A_{1}
, направив ось абсцисс по лучу A_{1}D
, ось ординат — по лучу с началом A_{1}
, сонаправленному с лучом B_{1}C_{1}
, а ось аппликат — по лучу с началом A_{1}
, перпендикулярному плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
(рис. 2). Обозначим A_{1}P=x
. Тогда рассматриваемые точки имеют координаты:
P(x;0;0),~E(\sqrt{3};1;3),~Q_{0}\left(2\sqrt{3};-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right).
Задача сводится к нахождению наименьшего значения функции
f(x)=PE+PQ_{0}=\sqrt{(x-\sqrt{3})^{2}+1^{2}+3^{2}}+\sqrt{(x-2\sqrt{3})^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}=
=\sqrt{(x-\sqrt{3})^{2}+10}+\sqrt{(x-2\sqrt{3})^{2}+\frac{5}{2}}.
на отрезке [0;2\sqrt{3}]
.
Заметим, что для каждого фиксированного x\in[0;2\sqrt{3}]
число f(x)
— это сумма расстояний от точки W(x;0)
плоскости xOy
до точек U(\sqrt{3};\sqrt{10})
и V\left(2\sqrt{3};\frac{\sqrt{10}}{2}\right)
этой плоскости. В свою очередь, эта задача сводится к нахождению на оси Ox
такой точки X
, для которой сумма расстояний до точек U
и V
минимальна. Известно, что X
— это точка пересечения с осью Ox
отрезка WV
, где W
— точка, симметричная точке U
относительно оси Ox
. Если U_{1}
и V_{1}
— проекции точек соответственно U
и V
на ось Ox
, то \frac{U_{1}X}{XV_{1}}=\frac{U_{1}W}{VV_{1}}=\frac{\sqrt{10}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}=2
. Значит,
x=\sqrt{3}+\frac{2}{3}(2\sqrt{3}-\sqrt{3})=\frac{5\sqrt{3}}{3}.
Следовательно,
EP_{0}+PQ_{0}=UX+XV=f\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)=
=\sqrt{\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}-\sqrt{3}\right)^{2}+10}+\sqrt{\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}-2\sqrt{3}\right)^{2}+\frac{5}{2}}=\sqrt{\frac{51}{2}}.