8871. В тетраэдре ABCD
двугранные углы при рёбрах AB
, AC
и BD
прямые. Один из отрезков, соединяющих середины противоположных рёбер тетраэдра, имеет длину a
, а другой — длину a\sqrt{6}
. Найдите длину наибольшего ребра тетраэдра.
Ответ. 3a
.
Решение. Плоскости граней ABD
и ACD
перпендикулярны плоскости грани ABC
и пересекаются по прямой AD
, значит, ребро AD
перпендикулярно плоскости грани ABC
. Поэтому \angle BAD=\angle CAD=90^{\circ}
.
Плоскости граней ABC
и BCD
перпендикулярны плоскости грани ABD
и пересекаются по прямой BC
, значит, ребро BC
перпендикулярно плоскости грани ABD
. Поэтому \angle CBD=\angle ABC=90^{\circ}
.
Отрезок CD
— общая гипотенуза прямоугольных треугольников ACD
и BCD
, поэтому CD\gt AC
, CD\gt AD
, CD\gt BD
, CD\gt BC
, а так как AC
— гипотенуза прямоугольного треугольника ABC
, то CD\gt AC\gt AB
. Следовательно, CD
— наибольшее ребро тетраэдра ABCD
.
Пусть K
, L
, M
и N
— середины рёбер BD
, CD
, AC
и AB
соответственно. Отрезки KL
и MN
— средние линии треугольников BCD
и ABC
, поэтому KL\parallel BC
, KL=\frac{1}{2}BC
, MN\parallel BC
, MN=\frac{1}{2}BC
. Значит, четырёхугольник KLMN
— параллелограмм, а так как AD\perp BC
и KN\parallel AD
, то KN\perp KL
. Поэтому KLMN
— прямоугольник. Следовательно, его диагонали KM
и LN
равны.
Пусть P
и Q
— середины рёбер AD
и BC
соответственно. Обозначим BC=x
, AD=y
. Тогда KL=\frac{x}{2}
, KN=\frac{y}{2}
. Предположим, что KM=NL=a\sqrt{6}
. Тогда PQ=a
. Из прямоугольного треугольника KLN
находим, что \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=6a^{2}
. Значит,
a^{2}=PQ^{2}=AP^{2}+AQ^{2}=AP^{2}+(BQ^{2}+AB^{2})=\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{4}+AB^{2}=6a^{2}+AB^{2}\gt a^{2},
что невозможно. Следовательно, KM=LN=a
и PQ=a\sqrt{6}
. Тогда
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=a^{2},~x^{2}+y^{2}=4a^{2},
6a^{2}=PQ^{2}=AP^{2}+AQ^{2}=AP^{2}+(BQ^{2}+AB^{2})=\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{4}+AB^{2}=a^{2}+AB^{2},
AB^{2}=6a^{2}-a^{2}=5a^{2}.
Поэтому
CD^{2}=AD^{2}+AC^{2}=AD^{2}+(BC^{2}+AB^{2})=y^{2}+x^{2}+5a^{2}=4a^{2}+5a^{2}=9a^{2}.
Следовательно, CD=3a
.