8889. На сторонах BC
и AD
правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
(S
— вершина) взяты точки P
и Q
. Сечения пирамиды SABCD
двумя взаимно перпендикулярными плоскостями \alpha
и \beta
, проходящими через прямую PQ
, — трапеции с равными основаниями. Грань SAB
образует угол \frac{\pi}{4}
с пересекающей её плоскостью сечения, а угол между гранями SAB
и ABCD
равен \arctg2
. Найдите площади сечений пирамиды плоскостями \alpha
и \beta
, если PQ=13
.
Ответ. \frac{23\sqrt{10}}{2}
, \frac{69\sqrt{10}}{2}
.
Решение. Пусть \alpha
— та из плоскостей, которая пересекает грань SAB
, и KL
— отрезок, по которому они пересекаются. Точки K
и L
не лежат на ребре AB
(в противном случае плоскости \alpha
и ABC
совпадают). Пусть точки K
и L
лежат на рёбрах SA
и SB
соответственно. если бы прямые LP
и KQ
были параллельны, были бы параллельны плоскости ASD
и BSC
(так как две пересекающиеся прямые KQ
и AD
одной из них были бы соответственно параллельны двум пересекающимся прямым PL
и BC
другой), Значит, KL\parallel PQ
. Плоскости \alpha
и ASB
проходят через параллельные прямые PQ
и KL
и пересекаются по прямой AB
, значит, PQ\parallel AB
. Отсюда следует, что AB=PQ=13
. Аналогично получаем, что плоскость \beta
пересекает грань SCD
по отрезку RT
, причём RT\parallel CD
.
По условию задачи KL=RT
. Это означает, что точки K
, L
, R
и T
делят боковые рёбра пирамиды в одном и том же отношении. Следовательно, они лежат в плоскости, параллельной плоскости основания пирамиды.
Пусть E
и F
— середины рёбер AB
и CD
соответственно, O
— центр квадрата ABCD
, а M
, N
и G
— середины отрезков соответственно PQ
, KL
и RT
. Плоскость ESF
перпендикулярна граням ASB
, CSD
и ABCD
, так как AB\perp ESF
, CD\perp ESF
и SO\perp ABCD
. Значит,
\angle SEF=\angle SFE=\arctg2,~\angle MNE=\frac{\pi}{4},~\angle NMG=\frac{\pi}{2}.
Из треугольника ENM
находим, что
\tg\angle EMN=\tg\left(\pi-\frac{\pi}{4}-\arctg2\right)=\tg\left(\frac{3\pi}{4}-\arctg2\right)=\frac{\tg\frac{3\pi}{4}-\tg(\arctg2)}{1+\tg\frac{3\pi}{4}\tg(\arctg2)}=\frac{-1-2}{1-2}=3,
а так как NG\parallel EF
, то \tg\angle MNG=3
.
Пусть U
— точка пересечения высоты SO
пирамиды с отрезком NG
, MM_{1}
— высота треугольника NMG
. Обозначим NM_{1}=x
. Тогда
MM_{1}=NM_{1}\tg\angle MNM_{1}=3x,~M_{1}G=\frac{MM_{1}^{2}}{NM_{1}}=\frac{9x^{2}}{x}=9x,~NG=x+9x=10x,
SU=NU\tg\angle SNU=2NU=10x,~SO=SU+UO=SU+MM_{1}=10x+3x=13x,
а так как SO=2EO=EF=13
, то x=1
. Тогда
MN=\sqrt{MM_{1}^{2}+M_{1}N^{2}}=\sqrt{9x^{2}+x^{2}}=x\sqrt{10}=\sqrt{10},~MG=3MN=3\sqrt{10}
— высоты трапеций KLPQ
и PRTQ
с основаниями PQ=13
и KL=RT=LR=NG=10
. Следовательно,
S_{KLPQ}=\frac{1}{2}(PQ+KL)\cdot MN=\frac{1}{2}(13+10)\cdot\sqrt{10}=\frac{23\sqrt{10}}{2},
S_{PRTQ}=\frac{1}{2}(PQ+RT)\cdot MG=\frac{1}{2}(13+10)\cdot3\sqrt{10}=\frac{69\sqrt{10}}{2}.