8895. Основание прямой призмы PQRP_{1}Q_{1}R_{1}
— треугольник PQR
, в котором \angle PQR=90^{\circ}
, PQ:QR=1:3
. Точка K
— середина катета PQ
и LM
призмы. Ребро AB
правильной треугольной пирамиды ABCD
(A
— вершина) лежит на прямой PR
, вершины C
и D
— на прямых P_{1}K
и QQ_{1}
соответственно. Найдите отношение объёмов призмы и пирамиды, если AB:CD=2:3
.
Ответ. \frac{15\sqrt{3}}{8}
.
Указание. AB\perp CD~\Rightarrow~C\in(TQD)
, где PQ\perp PR~\Rightarrow~C\in QQ_{1},~CQ=QQ_{1},~QT\perp CD~\Rightarrow~D=Q_{1}
; пусть PQ=x,AB=2y~\Rightarrow~QR=3x,~TQ=\frac{3x}{\sqrt{10}},~CD=3y,~TQ\cdot AB=AO\cdot BQ
, где AO
— высота пирамиды; AO=y~\Rightarrow~TQ=\frac{3y\sqrt{3}}{4}~\Rightarrow~~x=\frac{y\sqrt{30}}{4},~V_{\mbox{пр.}}=\frac{135y^{3}}{32},~V_{\mbox{пир.}}=\frac{3y^{3}\sqrt{3}}{4}
.