8899. Внутри правильной четырёхугольной пирамиды расположена прямая призма ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, в основании которой лежит ромб ABCD
, в котором BD=\sqrt{2}AC
. Ребро AA_{1}
призмы принадлежит основанию пирамиды, а ребро BB_{1}
— диагонали этого основания. Какой наибольший объём может иметь призма, если ребро основания пирамиды равно 6, а высота пирамиды равна 1?
Ответ. \frac{1}{9}
.
Указание. Пусть a
и H
— ребро основания и высота пирамиды, \alpha
— острый угол ромба, h
— высота призмы, y
— ребро её основания. Пусть плоскость верхнего основания призмы делит высоту пирамиды в отношении x:(1-x)
, считая от вершины. Тогда V=y^{2}\sin\alpha\cdot h
, где h\sin\alpha=H\cdot(1-x)
, \frac{h}{2}+y+y\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{2}}x
, \sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}
, \cos\alpha=\frac{1}{3}
, \frac{h}{2}+\frac{4}{3}y=x\sqrt{2}
, y\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=1-x
, h=2\sqrt{2}-\frac{16y}{3}
, V=\frac{8}{3}\left(y^{2}-\frac{4\sqrt{2}}{3}y^{3}\right)
, y_{0}=\frac{1}{2\sqrt{2}}
.